Calculo Integral: Aplicacion de la integral en las diferentes Areas

Aplicacion de la Integral en las Diferentes Areas

Introduccion

La integración y la diferenciación están íntimamente relacionadas. La naturaleza de esta relación es una de las ideas más importantes en matemáticas, y su descubrimiento (hecho por Leibniz y Newton de manera independiente, y mejorado por Cauchy y Riemann posteriormente.) sigue siendo uno de los avances más importantes de los tiempos modernos.

El cálculo integral surgió de la necesidad de resolver el problema de la obtención de áreas de figuras planas. Para ello se aproximaba exhaustivamente la figura cuya área se deseaba calcular mediante polígonos de áreas conocidas y apareció el concepto de integral. Con esta idea apareció el concepto de Integral Definida. Se llama integral definida de la función f(x) 0 entre a y b (a estos dos valores se les denomina límites de integración), al área de la porción de plano limitada por la gráfica de la función, el eje X y las rectas paralelas x = a y x = b

Conceptos y aplicaciones

Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Considérese una piscina. Si es rectangular y de profundidad uniforme, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (si se requiere saber su medida). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, las cantidades anteriores no son sencillas de calcular. Una posibilidad es calcularlas mediante integrales.

Para el cálculo integral de áreas se sigue el siguiente razonamiento:

Por ejemplo, consideremos la curva mostrada en la figura de arriba, gráfica de la función $y=f(x)=\sqrt{x}\,$ , acotada entre $x=0\,$ y $x=1\,$ .
La respuesta a la pregunta ¿Cuál es el área bajo la curva de función $f\,$ , en el intervalo desde $0\,$ hasta $1\,$ ? es: que el área coincidirá con la integral de $f\,$ . La notación para esta integral será

\int_0^1 \sqrt x \, dx \,\!

Una primera aproximación, muy grosera por cierto, para obtener esta área, consiste en determinar el área del cuadrado unidad cuyo lado lo da la distancia desde x=0 hasta x=1 o también la longitud entre y=f(0)=0 y y=f(1)=1. Su área es exactamente 1x1 = 1. Tal como se puede inferir, el verdadero valor de la integral tendrá que ser más pequeño. Particionando la superficie en estudio, con trazos verticales, de tal manera que vamos obteniendo pequeños rectángulos, y reduciendo cada vez más el ancho de los rectángulos empleados para hacer la aproximación, se obtendrá un mejor resultado; por ejem. dividamos el intervalo en cinco partes, empleando los puntos 0, ¹⁄₅, ²⁄₅,³⁄₅,⁴⁄₅ y, finalmente la abscisa 1. Se obtienen cinco rectángulos cuyas alturas se determinan aplicando la función con las abscisas anteriormente descritas (del lado derecho de cada pedazo de la curva), así

\sqrt{{}^{1}/_5}

\sqrt{{}^{2}/_5}

\sqrt{{}^{3}/_5}

… y así hasta

\sqrt{1}=1\,

. Sumando las áreas de estos rectángulos, se obtiene una segunda aproximación de la integral que se está buscando,

\sqrt {\frac {1} {5}} \left ( \frac {1} {5} - 0 \right ) + \sqrt {\frac {2} {5}} \left ( \frac {2} {5} - \frac {1} {5} \right ) + \ldots + \sqrt {\frac {5} {5}} \left ( \frac {5} {5} - \frac {4} {5} \right ) \approx 0,7497\,\!

Nótese que se está sumando una cantidad finita de valores de la función f, multiplicados por la diferencia entre dos puntos de aproximación sucesivos. Se puede ver fácilmente que las continuas aproximaciones continúan dando un valor más grande que el de la integral. Empleando más pasos se obtiene una aproximación más ajustada, pero no será nunca exacta. Si en vez de 5 subintervalos se toman doce y ahora tomamos las abscisas de la izquierda, tal como se muestra en el dibujo, se obtiene un estimado para el área, de 0,6203, que en este caso es de menor valor que el anteriormente determinado. La idea clave es la transición desde la suma de una cantidad finita de diferencias de puntos de aproximación multiplicados por los respectivos valores de la función, hasta usar pasos infinitamente finos, o infinitesimales. La notación

\int f(x) \, dx \,\!

concibe la integral como una suma ponderada (denotada por la "S" alargada), de los valores de la función multiplicados por pasos de anchura infinitesimal, los llamados diferenciales (indicados por dx).

Con respecto al cálculo real de integrales, el teorema fundamental del cálculo, debido a Newton y Leibniz, es el vínculo fundamental entre las operaciones de derivación e integración. Aplicándolo a la curva raíz cuadrada, se tiene que mirar la función relacionada

F(x)=\frac 2 3 x^\frac 3 2

y simplemente tomar

F(1)-F(0)\,

, donde

0\,

1\,

son las fronteras del intervalo [0,1]. (Éste es un ejemplo de una regla general, que dice que para f(x) = x^q, con q ≠ −1, la función relacionada, la llamada primitiva es F(x) = (x^q+1)/(q+1).) De modo que el valor exacto del área bajo la curva se calcula formalmente como

\int_0^1 \sqrt x \, dx = \int_0^1 x^\frac 1 2 \, dx = \left. ( \frac 2 3 x^\frac 3 2)\right |_0^1 = \frac 2 3 1^\frac 3 2 - \frac 2 3 0^\frac 3 2 = \frac 2 3.

Como se puede ver, la segunda aproximación de 0,7 (con cinco rectangulitos), arrojó un valor superior al valor exacto; en cambio la aproximación con 12 rectangulitos de 0,6203 es una estimación muy por debajo del valor exacto (que es de 0,666...).

Históricamente, después de que los primeros esfuerzos de definir rigurosamente los infinitesimales no fructificasen, Riemann definió formalmente las integrales como el limite de sumas ponderadas, de forma que el dx sugiere el límite de una diferencia (la anchura del intervalo). La dependencia de la definición de Riemann de los intervalos y la continuidad motivó la aparición de nuevas definiciones, especialmente la integral de Lebesgue, que se basa en la habilidad de extender la idea de "medida" de maneras mucho más flexibles. Así, la notación

\int_A f(x) \, d\mu \,\!

hace referencia a una suma ponderada de valores en que se divide la función, donde μ mide el peso que se tiene que asignar a cada valor. (Aquí A indica la región de integración.) La geometría diferencial, con su "cálculo de variedades", proporciona otra interpretación a esta notación familiar. Ahora f(x) y dx pasan a ser una forma diferencial, ω = f(x)dx, aparece un nuevo operador diferencial d, conocido como la derivada exterior, y el teorema fundamental pasa a ser el (más general) teorema de Stokes,

\int_{A} \bold{d} \omega = \int_{\part A} \omega , \,\!

a partir del cual se deriva el teorema de Green, el teorema de la divergencia, y el teorema fundamental del cálculo.

Recientemente, los infinitesimales han reaparecido con rigor, a través de innovaciones modernas como el análisis no estándar. Estos métodos no solo reivindican la intuición de los pioneros, también llevan hacia las nuevas matemáticas, y hacen más intuitivo y comprensible el trabajo con cálculo infinitesimal.

A pesar de que hay diferencias entre todas estas concepciones de la integral, hay un solapamiento considerable. Así, el área de la piscina oval se puede hallar como una elipse geométrica, como una suma de infinitesimales, como una integral de Riemann, como una integral de Lebesgue, o como una variedad con una forma diferencial. El resultado obtenido con el cálculo será el mismo en todos los casos.

Definiciones formales

Hay muchas maneras de definir formalmente una integral, no todas equivalentes. Se establecen diferencias para poder abordar casos especiales que no pueden ser integrables con otras definiciones, pero también en ocasiones por razones pedagógicas. Las definiciones más utilizadas de la integral son las integrales de Riemann y las integrales de Lebesgue.

Integral de Riemann

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Integral con el planteamiento de Riemann hace una suma basada en una partición etiquetada, con posiciones de muestreo y anchuras irregulares (el máximo en rojo). El verdadero valor es 3,76; la estimación obtenida es 3,648.

La integral de Riemann se define en términos de sumas de Riemann de funciones respecto de particiones etiquetadas de un intervalo. Sea [a,b] un intervalo cerrado de la recta real; entonces una partición etiquetada de [a,b] es una secuencia finita

a = x_0 \le t_1 \le x_1 \le t_2 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le t_n \le x_n = b . \,\!

y denotamos la partición como

\mathit{P}=\{x_i|i=0,1,...,n\}\,\!

Convergencia de sumatorios de Riemann a medida en que se parten los intervalos, cuando se muestrea a ■ la derecha, ■ el mínimo, ■ el máximo, o ■ la izquierda.

Esto divide al intervalo [a,b] en n subintervalos [x_i−1, x_i], cada uno de los cuales es "etiquetado" con un punto especificado t_i de; [x_i−1, x_i]. Sea Δ_i = x_i−x_i−1 la anchura del subintervalo i; el paso de esta partición etiquetada es el ancho del subintervalo más grande obtenido por la partición, max_i=1…n Δ_i. Un sumatorio de Riemann de una función f respecto de esta partición etiquetada se define como

\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta_i ;

Así cada término del sumatorio es el área del rectángulo con altura igual al valor de la función en el punto especificado del subintervalo dado, y de la misma anchura que la anchura del subintervalo. La integral de Riemann de una función f sobre el intervalo [a,b] es igual a S si:

Para todo ε > 0 existex δ > 0 tal que, para cualquier partición etiquetada [a,b] con paso más pequeño que δ, se tiene

\left| S - \sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta_i \right| < \varepsilon

, donde

S= \int_{a}^{b}f = \lim_{\|{\Delta_i}\| \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta_i

Cuando las etiquetas escogidas dan el máximo (o mínimo) valor de cada intervalo, el sumatorio de Riemann pasa a ser un sumatorio de Darboux superior (o inferior), lo que sugiere la estrecha conexión que hay entre la integral de Riemann y la integral de Darboux.

Teorema fundamental del cálculo

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El teorema fundamental del cálculo es la afirmación de que la derivacion y la integración son operaciones inversas: si una funcion continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la función original. Una consecuencia importante, en ocasiones denominada el segundo teorema fundamental del cálculo, permite calcular integrales a base de emplear una primitiva de la función a integrar.

Enunciado de los teoremas

Teorema fundamental del cálculo. Sea f una funcion real integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si se define F para cada x de [a, b] por

F(x) = \int_a^x f(t)\, dt.

entonces F es continua en [a, b]. Si f es continua en x de [a, b], entonces F es derivable en x, y F ′(x) = f(x).

Segundo teorema fundamental del cálculo. Sea f una función real, integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si F es una función tal que F ′(x) = f(x) para todo x de [a, b] (es decir, F es una primitiva de f), entonces

\int_a^b f(t)\, dt = F(b) - F(a).

Corolario. Si f es una función continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b], y F, definida por

F(x) = \int_a^b f(x) \, dx

es una primitiva de f en [a, b]. Además,

\int_a^b f(x) \, dt = F(b) - F(a).

Aplicaciones

Aplicaciones en física

Muchas leyes de la Física se expresan en forma de ecuaciones diferenciales. En el caso más sencillo, estas ecuaciones diferenciales se resuelven con el cálculo de una primitiva y muchas veces el resultado final que se busca se encuentra con el cálculo de una integral.

Por ejemplo, la integral se aplica para resolver el problema de la caída libre de un cuerpo sometido a la gravedad de la tierra. En la Tierra, la aceleración de la gravedad es aproximadamente g = 9,81 m/s². Por lo tanto un cuerpo que cae libremente empezando su caída con velocidad nula tiene una velocidad que viene dada por la siguiente función:

v = -g \cdot t

El signo negativo es debido a que la gravedad es hacia el centro de la tierra y los sistemas de referencia normalmente se eligen de forma que la dirección positiva es hacia arriba.

Si se quiere saber la distancia que ha recorrido el cuerpo durante un tiempo dado T se puede razonar (empleando análisis no estándar) que en torno a cada instante t la velocidad es constante salvo variaciones infinitesimales, por lo tanto el espacio recorrido en este instante durante un periodo de tiempo infinitesimal dt es v(t)dt, la suma de todos los espacios recorridos durante todos los instantes desde t=0 hasta t=T (el momento en que se quiere saber la distancia recorrida) y se calcula con la integral:

\ell = \int_0^T \left(-g \cdot t\;\mathrm{d}t\,\right)

El resultado de esta integral es:

\ell =\, -(\frac g 2 \cdot T^2)

Otros ejemplos de campos de la física donde se aplican las integrales:

La energía consumida en un periodo de tiempo es la integral de la potencia durante el tiempo.
La variación de la carga eléctrica en un condensador durante un periodo de tiempo es la integral de la corriente eléctrica que fluye hacia el condensador durante este tiempo.
La integración del caudal (metros cúbicos por segundo) que fluye por un conducto proporciona el volumen de fluido que ha pasado por el conducto durante el periodo de integración.

Conclusion

Las intgrales son una herramienta muy importante ya que nos sirven para calcular áreas, volumenes de superficie que no se podrian calcular simplemente con una formula.

Bibliografía

Apostol, Tom M. (1972): "Calculus". Vol.1: "Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al álgebra lineal". ISBN: 8429150021.

Demidovich, B.P. (1993): "Problemas y ejercicios de Análisis Matemático". ISBN: 8428300496.

Calculo Integral

miércoles, 13 de mayo de 2015

Aplicacion de la integral en las diferentes Areas